筑基：斯坦福 线性动力系统导论——第一课
1Lecture 1 概览
●预备知识
●主题和大纲
●什么是线性动力系统
●为什么要研究线性系统
●一些例子
2预备知识
●了解线性代数
●了解Laplace变换，微分方程
不需要，但是有助于理解的有：
●控制系统(control systems)
●电路&系统(circuits & systems)
●dynamics
3主题和大纲
●线性代数&应用
●自治线性动力系统(autonomous linear dynamical systems)
●有输入输出的线性动力系统
●基本二次控制和估计(basic quadratic control & estimation)
4线性动力系统
连续时间动力系统(continuous-time linear dynamical system,CT LDS)的形式为：
其中：
●t ∈ R表示时间
●x(t)∈ Rn是状态(state,是向量)
●u(t)∈ Rm是输入或控制
●y(t)∈ Rp是输出
●A(t)∈ Rn×n 是动态矩阵(dynamics matrix)
●B(t)∈ Rn×m 是输入矩阵
●C(t)∈ Rp×n是输出矩阵或传感器矩阵(sensor matrix)
●D(t)∈ Rp×m 是馈通矩阵(feedthrough matrix)
方程可以简写为
● CT LDS 是一阶矢量微分方程
●也被称为状态方程(state equations)或”m-输入，n-状态，p-输出”LDS
5一些LDS术语
●通常遇到的线性系统大多是时不变的：A,B,C,D为常量，即与时间t无关
●当没有输入u(因此，没有B或D)的系统被称为自主的(autonomous)
●大多数时候没有馈通，即D=0
●当u(t)和y(t)是标量时，系统被称为单输入，单输出的(single-input，single-out，SISO)；当输入和输出信号维度大于1时，称为MIMO(multi-input,multi-out)
6离散时间线性动力系统
离散时间线性动力系统(discrete-time linear dynamical system, DT LDS)的形式为
●t ∈ Z = { 0, ± 1, ± 2,.. . }
●(向量)信号x, u, y是序列(sequences)
DT LDS是一阶矢量递归(recursion)
7为什么研究线性系统？
●许多领域涌现出了应用，如：
●自动控制系统
●信号处理
●通讯
●经济、金融
●电路分析、仿真、设计
●机械和土木工程
●航空学
●导航、引导
8LDS的用处
●取决于可用的算力，所需算力很大且呈指数增长
●被用于
-分析和设计
-执行，嵌入到实时系统里
9起源和历史
●LDS的部分理论可追溯到19世纪
●基于经典电路和系统(1920年代)，但是更强调线性代数
●第一个工程应用：1960年代的航空航天
●1980年代从特别话题过渡到无处不在(就像数字信号处理，信息论等一样)
10非线性动力系统
既然许多动力系统是非线性的，为什么研究线性系统？
●用于非线性系统的大多数技术是基于线性方法的
●如果不理解线性动力系统，那你也不可能理解非线性动力系统
11例子(示意，无细节)
●考虑一个特定的系统
x(t) ∈ R16 , y(t) ∈ R (一个16个状态一个输出的系统)
典型的输出为
●输出的波形很复杂，看起来几乎是随机且很难理解
●这种解可以被分解为更简单的成分
12输入设计
增加两个输入，两个输出到系统里：
其中，B∈ R16×2, C ∈ R2×16（A与上同）
问题：找到合适的u : R+ → R2 所以 y(t) → ydes = (1, −2)
简单方法：考虑静态条件(u,x,y是常量)：
得到u的解为：
直接应用u=ustatic，只需等待事情解决：
y(t)收敛到ydes耗时约1500s
使用更聪明的输入波形可以收敛更快，如：
耗时约50s
在这个课程我们将研究
●如何合成或设计这样的输入
●u的大小和收敛时间之间的平衡
13估计(estimation)/滤波(filtering)
●信号u是分段常量(周期1s)
●被2阶系统H(s)过滤，step response s(t)
●A/D 10Hz,3-bit数字化
问题：给定数字化滤波后的信号y，估计原始信号u
简单方法：
●忽略数字化
●设计均衡器(equalizer) G(s),即GH≈1
●近似u为G(s)y
...产生难以接受的结果
参考文献：Introduction to Linear Dynamical Systems. Stephen Boyd
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